导数极值与最值练习题解题思路解析
一、题目
1. 已知函数$f(x) = x^{3} – 3x^{2} – 9x + 1$，求其单调区间和极值。
2. 求解函数$g(x) = \frac{x^{2} + 2x}{x^{2} + 4}$的最大值。
二、解题思路与解析
1. 题目一解析
解题步骤：
1. 首先求函数$f(x)$的导数$f^{\prime}(x)$。
2. 根据导数的定义，有$f^{\prime}(x) = 3x^{2} – 6x – 9$。
3. 令$f^{\prime}(x) = 0$，解得$x = -1$或$x = 3$。
4. 检查导数的符号变化：
当$x 0$，函数$f(x)$在此区间内单调递增。
当$-1 < x < 3$时，$f^{\prime}(x) < 0$，函数$f(x)$在此区间内单调递减。
当$x > 3$时，$f^{\prime}(x) > 0$，函数$f(x)$在此区间内单调递增。
5. 根据单调性，确定函数的极值：
当$x = -1$时，函数$f(x)$取得极大值，即$f(-1) = 11$。
当$x = 3$时，函数$f(x)$取得极小值，即$f(3) = -23$。
答案：
函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty, -1)$和$(3, +\infty)$，单调递减区间为$(-1, 3)$。函数的极大值为11，极小值为-23。
2. 题目二解析
解题步骤：
1. 首先化简函数$g(x)$为$g(x) = 1 + \frac{2x – 4}{x^{2} + 4}$。
2. 求导得$g^{\prime}(x) = \frac{-2x^{2} + 4x}{(x^{2} + 4)^{2}}$。
3. 令$g^{\prime}(x) = 0$，解得$x = 0$或$x = 2$。
4. 检查导数的符号变化：
当$x 2$时，$g^{\prime}(x) < 0$，函数$g(x)$在此区间内单调递减。
当$0 0$，函数$g(x)$在此区间内单调递增。
5. 根据单调性，确定函数的最大值：
当$x = 2$时，函数$g(x)$取得最大值，即$g(2) = \frac{3}{4}$。
答案：
函数$g(x)$的最大值为$\frac{3}{4}$。