一、选择题
1. 若函数$f(x) = \log_{2}(x^{2} – 3x – 4)$的定义域为$M$，函数$g(x) = \sqrt{x – 3 \cdot 2^{x + 1} + 14}$的定义域为$N$，则$M \cap N =$（）
A.$\{ x| – 1 \leqslant x \leqslant 2\}$ B.$\{ x|2 \leqslant x \leqslant 3\}$
C.$\{ x|3 \leqslant x \leqslant 4\}$ D.$\{ x|x \leqslant – 1$或$x \geqslant 3\}$
【答案】B
【解析】$x^{2} – 3x – 4 > 0$，解得$x 4$，故$M = ( – \infty, – 1) \cup (4, + \infty)$，$2^{x + 1} \geqslant x + 3$，即$2^{x} \geqslant x + 3 > 0$，$\therefore 0 < x + 3 \leqslant 4$，$\therefore – 3 < x \leqslant 1$，故$N = ( – 3,1\rbrack$，故$M \cap N = \lbrack 2,1\rbrack$，但$x = 1$时，$g(x)$无意义，故$M \cap N = \lbrack 2,3\rbrack$，故选B.
2. 函数$y = \frac{1}{3}x^{3} – x^{2} + 1$的单调递减区间为( )
A.$( – \infty,2\rbrack$ B.$\lbrack 2, + \infty)$
C.$\lbrack 0,2\rbrack$ D.无单调递减区间
【答案】C
【解析】$y^{\prime} = x^{2} – 2x = x(x – 2)$，令$y^{\prime} < 0$，解得$0 \leqslant x < 2$，故函数$y = \frac{1}{3}x^{3} – x^{2} + 1$的单调递减区间为$\lbrack 0,2\rbrack$，故选C.
二、填空题
1. 函数$y = \sqrt{x – 3} + \lg(4 – x)$的定义域为____.
【答案】$(3,4)$
2. 函数$y = \frac{1}{x – 2}$的图象与函数$y = x$的图象的交点的横坐标是____.
【答案】$\frac{1}{3}$
三、解答题
1. 已知函数$f(x) = \ln(x + 1) – x$，求$f(x)$的单调区间和极值.
【答案】由$x + 1 > 0$，得$x > – 1$，故函数$f(x)$的定义域为$( – 1, + \infty)$，$f^{\prime}(x) = \frac{1}{x + 1} – 1 = \frac{- x}{x + 1}$，令$f^{\prime}(x) > 0$，解得$- 1 0$，故函数$f(x)$的单调递增区间为$( – 1,0)$，单调递减区间为$(0, + \infty)$，当$x = 0$时，$f(x)$有极大值$f(0) = 0$，无极小值.
2. 已知函数$f(x) = x^{3} – 3x^{2} – 9x + a$，求$f(x)$的单调区间和极值.
【答案】$f^{\prime}(x) = 3x^{2} – 6x – 9 = 3(x + 1)(x – 3)$，令$f^{\prime}(x) > 0$，解得$x 3$，令$f^{\prime}(x) < 0$，解得$- 1 < x < 3$，故函数$f(x)$的单调递增区间为$( – \infty, – 1)$，$(3, + \infty)$，单调递减区间为$( – 1,3)$，当$x = – 1$时，$f(x)$有极大值$f( – 1) = 13 + a$，当$x = 3$时，$f(x)$有极小值$f(3) = a – 27$.
3. 已知函数$f(x) = x^{3} – 3x^{2} – 9x$，求$f(x)$的单调区间和极值.
【答案】$f^{\prime}(x) = 3x^{2} – 6x – 9 = 3(x – 3)(x + 1)$，令$f^{\prime}(x) > 0$，解得$x 3$，令$f^{\prime}(x) < 0$，解得$- 1 < x < 3$，故函数$f(x)$的单调递增区间为$( – \infty, – 1)$，$(3, + \infty)$，单调递减区间为$( – 1,3)$，当$x = – 1$时，$f(x)$有极大值$f( – 1) = 13$，当$x = 3$时，$f(x)$有极小值$f(3) = – 27$.
以上是对必修5数学同步课后练习题，巩固新课及时检测的详细答案及解析。希望对同学们有所帮助。