高一必修一数学练习题
第一套
一、选择题
1. 若$x^2 – 5x – 6 = 0$，则$x^2 + 1/x^2 =$____
A. 13 B. 17 C. 25 D. 31
2. 已知$f(x) = \log_2(x^2 – 2x)$，则$f(x)$的单调递增区间为____
A. $( – \infty,1)$ B. $( – \infty, – 1\rbrack$
C. $\lbrack 1, + \infty)$ D. $\lbrack – 1,1\rbrack$
二、填空题
1. 已知$x,y \in \mathbf{R}$，且$x + 2y = 1$，则$3^x + 4^{2y}$的最小值为____。
2. 已知函数$f(x) = x^2 – 2x$，若$f(m – 1) < 0$，则实数$m$的取值范围是____。
三、解答题
1. 已知函数$f(x) = x^2 + 2x$，求$f(x)$在区间$[-3,2]$上的最大值和最小值。
2. 已知函数$f(x) = \log_2(x + 3)$，求$f(x)$的反函数，并求$f^{-1}(2)$的值。
答案及解析
选择题解析
1.【答案】B
【解析】由$x^2 – 5x – 6 = 0$，解得$x = 6$或$x = -1$。所以$x^2 + \frac{1}{x^2} = 37$。对这两个值求平方根，得到$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值为17或37，但根据题意，我们只需要其中一个解，所以答案为B。
2.【答案】C
【解析】由$f(x) = \log_2(x^2 – 2x)$，可知其定义域为$x^2 – 2x > 0$，解得$x 2$。$f(x)$的单调递增区间为$\lbrack 2, + \infty)$，所以答案为C。
填空题解析
1.【答案】9
【解析】由$x + 2y = 1$，得$2y = 1 – x$，所以$3^x + 4^{2y} = 3^x + 4^{1-x} = 3^x + \frac{4}{4^x}$。利用均值不等式，得到$3^x + \frac{4}{4^x} \geq 2\sqrt{3^x \cdot \frac{4}{4^x}} = 2\sqrt{4} = 4$。当且仅当$3^x = \frac{4}{4^x}$，即$x = \frac{1}{2}$时，取等号。所以$3^x + 4^{2y}$的最小值为4。
2.【答案】$(1,3)$
【解析】由$f(m – 1) = (m – 1)^2 – 2(m – 1) < 0$，解得$1 < m < 3$。
解答题解析
1.【答案】
【解析】$f(x) = x^2 + 2x = (x + 1)^2 – 1$。在区间$[-3,2]$上，$f(x)$在$x = -1$处取得最小值-1，在$x = 2$处取得最大值8。
2.【答案】$f^{-1}(x) = 2^x – 3$，$f^{-1}(2) = 2^2 – 3 = 1$
【解析】由$f(x) = \log_2(x + 3)$，得到$x = 2^y – 3$，即$f^{-1}(x) = 2^x – 3$。所以$f^{-1}(2) = 2^2 – 3 = 1$。
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