题目：
设函数$f(x) = \log_{2}(x^{2} – ax + 3a)$，当$x \in \lbrack 2,4\rbrack$时，$f(x)$有意义，求实数$a$的取值范围。
解答：
由于对数函数的定义域要求内部表达式大于0，所以我们需要满足：
$x^{2} – ax + 3a > 0$
这可以转化为：
$x^{2} – ax + 3a = (x – a)x + 3a = (x – a)(x + 3)$
为了确定$x^{2} – ax + 3a > 0$的解集，我们考虑其判别式：
$\Delta = a^{2} – 4 \times 1 \times 3a = a^{2} – 12a$
1. 当$\Delta 0$恒成立。解这个不等式得到：$0 < a < 12$。
2. 当$\Delta = 0$，即$a = 0$或$a = 12$时，我们需要进一步判断。
– 当$a = 0$时，$x^{2} – ax + 3a = x^{2} > 0$恒成立。
– 当$a = 12$时，$x^{2} – ax + 3a = (x – 6)^{2} \geq 0$，但在$x = 6$时取等号，不满足在$x \in [2,4]$时$f(x)$有意义。
3. 当$\Delta > 0$，即$a 12$时，我们需要考虑二次方程的根。由于$x \in [2,4]$，为了确保$f(x)$有意义，我们需要确保在这个区间内，$x^{2} – ax + 3a > 0$。
– 当$a 4$，解得$a < -8$。
– 当$a > 12$时，二次方程的两个根分别为$\frac{a – \sqrt{a^{2} – 12a}}{2}$和$\frac{a + \sqrt{a^{2} – 12a}}{2}$。为了满足条件，需要$\frac{a – \sqrt{a^{2} – 12a}}{2} 12$。
综合以上三种情况，我们得到$a$的取值范围为$a < -8$或$0 \leq a < 12$。