“老吾老以及人之老”这句话的断句应该是：“老吾老，以及人之老”。这句话出自孟子的《梁惠王上》，是孟子提倡的“仁政”思想的具体表现之一。
我们来解析这句话的语法结构。这句话由两个部分组成，前半部分是“老吾老”，后半部分是“以及人之老”。其中，“老”是动词，表示尊敬和照顾老人的意思。“吾老”指的是我自己的长辈，也就是我自己的父母和祖父母等亲人。在“老吾老”这个短语中，“吾”是代词，指代说话人自己，表示“我自己的”。“老吾老”这个短语的意思就是“尊敬我自己的长辈”。
后半部分“以及人之老”中，“以及”是一个连词，表示“以及、和”的意思。在这个短语中，“人”是代词，指代除了说话人自己之外的其他人，也就是其他人的长辈。“人之老”指的是其他人的长辈，也就是其他人的父母和祖父母等亲人。整个“以及人之老”这个短语的意思就是“尊敬其他人的长辈”。
这句话的意思是，我们要尊敬自己的长辈，同时也要尊敬其他人的长辈。这是孟子提倡的“仁政”思想的具体表现之一。孟子认为，如果者能够实行“仁政”，让百姓安居乐业，那么百姓就会尊敬自己的长辈，同时也会尊敬其他人的长辈。这种互相尊敬的风气，可以形成一种良好的社会风尚，让社会更加和谐稳定。
这句话的语法结构比较简单，但是它所传达的思想却是非常深刻的。在现代社会中，我们仍然可以从中汲取到很多启示。我们要尊重自己的长辈，这是的传统美德之一。我们也要尊重其他人的长辈，这是体现我们社会文明和进步的重要标志。
这句话也提醒我们，要关注老年人的生活，关心他们的身心健康。老年人是社会的重要财富，他们为社会做出了很多贡献，我们应该尽我们所能去照顾他们，让他们晚年生活幸福。
这句话也提醒我们，要倡导尊老的良好风尚。尊老是的传统美德，也是现代社会文明进步的重要标志。我们应该从小培养孩子尊老的品质，让这种美德代代相传。
“老吾老，以及人之老”这句话虽然出自古代经典，但是它所传达的思想却是跨越时空的。它告诉我们，要尊重自己的长辈，同时也要尊重其他人的长辈，关注老年人的生活，倡导尊老的良好风尚。这些思想对于我们今天的社会仍然有着重要的意义。