基础篇
1. 等差数列
给定等差数列的前两项为2和5，求其通项公式。
答案：等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差。对于此题，$a_1 = 2$，$d = 5 – 2 = 3$。通项公式为$a_n = 2 + 3(n-1) = 3n – 1$。
2. 等比数列
给定等比数列的前两项为1和4，求其通项公式。
答案：等比数列的通项公式为$a_n = a_1 \times q^{(n-1)}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比。对于此题，$a_1 = 1$，$q = 4/1 = 4$。通项公式为$a_n = 1 \times 4^{(n-1)} = 4^{n-1}$。
进阶篇
1. 混合数列
给定数列：1, 3, 5, 9, 17, 33，求其通项公式。
答案：观察数列，可以发现每一项都是前一项加上某个常数。对于前两项，有$3 = 1 + 2$，$5 = 3 + 2$，$9 = 5 + 4$，$17 = 9 + 8$，$33 = 17 + 16$。通项公式为$a_n = 2^n + (2n – 3)$。
2. 递推数列
给定数列：1, 3, 7, 15, 31，求其通项公式。
答案：观察数列，可以发现每一项与前一项的差值是：$3 – 1 = 2$，$7 – 3 = 4$，$15 – 7 = 8$，$31 – 15 = 16$。这些差值分别是2的1次幂、2次幂、3次幂和4次幂。设$a_n$与$a_{n-1}$的差为$2^n$，即$a_n – a_{n-1} = 2^n$。从第一项开始，逐步累加，得到$a_n = (a_n – a_{n-1}) + (a_{n-1} – a_{n-2}) + \ldots + (a_2 – a_1) + a_1 = 2^n + 2^{n-1} + \ldots + 2 + 1 = 2^n – 1$。
3. 对数数列
给定数列：1, 2, 4, 8, 16，求其通项公式。
答案：观察数列，可以发现每一项都是前一项的2倍。通项公式为$a_n = 2^{n-1}$。
数列的通项公式是数列研究的重要部分，通过观察和数列的规律，我们可以找到其通项公式。基础篇中的等差数列和等比数列是常见的数列类型，而进阶篇中的混合数列、递推数列和对数数列则更具挑战性。通过练习，我们可以提高解决数列问题的能力。