函数的单调性与极值是微积分中的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质。在解题过程中，我们可以使用图像法和导数法这两种方法来求解。下面，我将通过一些练习题来展示这两种方法的应用。
练习题1： 已知函数$f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 1$，求其单调区间和极值。
解法一：图像法
1. 我们绘制函数$f(x)$的图像。由于这是一个三次函数，我们可以使用描点法来近似地画出其图像。
2. 观察图像，我们可以看到函数在$(-\infty, -1]$和$[3, +\infty)$上是单调递增的，而在$[-1, 3]$上是单调递减的。
3. 接着，我们找到可能的极值点，即函数的拐点。这些点可以通过设置$f'(x) = 0$来找到。解这个方程，我们得到$x = -1$和$x = 3$。
4. 通过检查这些点，我们发现当$x = -1$时，函数从递减变为递增，所以$x = -1$是一个极小值点，此时$f(-1) = -13$。当$x = 3$时，函数从递增变为递减，所以$x = 3$是一个极大值点，此时$f(3) = -19$。
解法二：导数法
1. 我们计算函数$f(x)$的导数$f'(x) = 3x^2 – 6x – 9$。
2. 然后，我们找出导数为零的点，即解方程$f'(x) = 0$。解这个方程，我们得到$x = -1$和$x = 3$。
3. 接着，我们检查这些点附近的导数的符号。当$x 0$，所以函数在这个区间是单调递增的。当$-1 3$时，$f'(x) > 0$，所以函数在这个区间是单调递增的。
4. 我们计算极值。当$x = -1$时，函数从递减变为递增，所以$x = -1$是一个极小值点，此时$f(-1) = -13$。当$x = 3$时，函数从递增变为递减，所以$x = 3$是一个极大值点，此时$f(3) = -19$。
练习题2： 已知函数$g(x) = \ln(x + 3) – x^2 + 2x$，求其单调区间和极值。
解法一：图像法
1. 绘制函数$g(x)$的图像。由于这是一个包含对数函数的复合函数，我们可以使用计算器或绘图软件来绘制其图像。
2. 观察图像，我们可以看到函数在$(-3, 1 – \sqrt{2}]$上是单调递增的，在$[1 + \sqrt{2}, +\infty)$上是单调递减的，并且在$x = 1 – \sqrt{2}$处取得极大值。
解法二：导数法
1. 计算函数$g(x)$的导数$g'(x) = \frac{1}{x + 3} – 2x + 2$。
2. 找出导数为零的点，即解方程$g'(x) = 0$。解这个方程，我们得到$x = 1 – \sqrt{2}$。
3. 检查这些点附近的导数的符号，确定函数的单调区间和极值。
通过以上的练习，我们可以看到，无论是使用图像法还是导数法，都可以有效地求解函数的单调区间和极值。在实际应用中，我们可以根据问题的具体情况选择合适的方法。