练习题
1. 基础题
已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的长轴长为 8，短轴长为 4，求椭圆的方程。
椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ 上一点 P 到焦点 F1 的距离是 2，求点 P 到另一个焦点 F2 的距离。
2. 提高题
已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率 e = 0.6，且经过点 (3, 2)，求椭圆的方程。
椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的离心率是 0.5，求 b 的值。
3. 综合题
椭圆 C 的方程为 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，过点 (2, 1) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点，求 |AB| 的最大值。
已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > b > 0) 的离心率为 0.5，且经过点 (2, 1)，求椭圆的方程。
典型题精讲
1. 基础题精讲
题目：已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的长轴长为 8，短轴长为 4，求椭圆的方程。
精讲：由题意，长轴长为 2a = 8，所以 a = 4。短轴长为 2b = 4，所以 b = 2。椭圆的方程为 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$。
2. 提高题精讲
题目：椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ 上一点 P 到焦点 F1 的距离是 2，求点 P 到另一个焦点 F2 的距离。
精讲：由椭圆的定义，点 P 到两个焦点的距离之和为 2a。由椭圆的方程 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ 可知，a = 3。点 P 到另一个焦点 F2 的距离为 2a – 2 = 4。
3. 综合题精讲
题目：椭圆 C 的方程为 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，过点 (2, 1) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点，求 |AB| 的最大值。
精讲：设直线 l 的方程为 $y – 1 = k(x – 2)$。将其代入椭圆方程，得到关于 x 的二次方程。利用韦达定理和弦长公式，结合判别式的条件，求得 |AB| 的最大值。
以上是关于椭圆性质的练习题和典型题精讲。希望能帮助你更好地理解和掌握椭圆的性质。