高中数学空间向量建系技巧证明与计算练习题

一、填空题

1. 若点$A(1,2,3)$，点$B(x,y,z)$，且$\overrightarrow{AB} = (2,-1,4)$，则$x =$____，$y =$____，$z =$____。

2. 若点$M(2,3,4)$，点$N(3,4,5)$，则$MN$的中点坐标为____。

3. 在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，若$E$为$AB$的中点，$F$为$A_1D_1$的中点，则$\overrightarrow{EF} =$____。

二、解答题

1. 已知点$A(1,2,3)$，点$B(4,5,6)$，点$C$在$AB$上，且$AC = \frac{1}{3}AB$，求点$C$的坐标。

2. 在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$为$AD$的中点，$F$为$A_1B_1$的中点，求$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{AB}$的夹角。

3. 已知点$P(1,2,3)$，$Q(-2,1,4)$，$R$在$PQ$上，且$PR = 2RQ$，求点$R$的坐标。

4. 已知点$A(1,0,2)$，$B(3,4,0)$，$C(2,3,1)$，求向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角。

5. 已知空间向量$\overrightarrow{a} = (1,2,3)$，$\overrightarrow{b} = (4,5,6)$，求$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|$及$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角。

三、附加题

1. 在空间直角坐标系中，已知点$A(1,0,2)$，$B(3,4,0)$，$C(2,3,6)$，求平面$ABC$的法向量。

2. 已知三棱锥$S-ABC$中，$SA \perp$平面$ABC$，$AB = 2$，$AC = 3$，$BC = 4$，求三棱锥$S-ABC$的体积。

3. 在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$为$AB$的中点，$F$为$A_1D_1$的中点，$G$为$CD$的中点，求三棱锥$F-EGC$的体积。

四、解答与证明

1. 证明：若$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$，则$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$。

2. 证明：若$\overrightarrow{a} = (x_1, y_1, z_1)$，$\overrightarrow{b} = (x_2, y_2, z_2)$，则$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$。

3. 证明：在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，若$E$为$AB$的中点，$F$为$A_1D_1$的中点，则$EF \perp AB$且$EF \perp AD$。