题目：已知函数$f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 7$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。
解答：
1. 识别函数：我们要明确函数$f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 7$。
2. 应用求导法则：
– $x^3$的导数是$3x^2$。
– $x^2$的导数是$2x$。
– $x$的导数是$1$。
– 常数$7$的导数是$0$。
3. 求导：根据以上法则，我们可以计算$f(x)$的导数：
$$
f'(x) = 3x^2 – 2 \times 6x + 9 \times 1 + 0 = 3x^2 – 12x + 9
$$
4. 简化结果：为了更清晰地表示导数，我们可以将$f'(x)$进一步简化为：
$$
f'(x) = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x – 3)(x – 1)
$$
：通过应用基本的求导法则，我们成功地求出了函数$f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 7$的导数$f'(x) = 3(x – 3)(x – 1)$。这个过程中，我们运用了幂函数、常数和线性函数的求导规则，并正确地进行了计算。
拓展：
为了进一步巩固求导法则，我们可以考虑其他类型的函数，如复合函数、三角函数、指数函数等。例如，考虑函数$g(x) = \sin(x^2 + 1)$，我们需要利用链式法则和三角函数的导数公式来求解$g'(x)$。
我们还可以通过导数来探讨函数的单调性、极值等性质。例如，对于函数$h(x) = x^2 – 4x$，我们可以通过求导并分析导数的符号来判断$h(x)$在哪些区间上是增函数，哪些区间上是减函数。
通过不断的练习，我们可以加深对求导法则的理解，提高解题能力，并更好地应用导数来解决实际问题。