数学必修5数列练习题：通项与求和的经典题型
一、选择题
1. 若数列 {an} 的通项公式为 an = 3n – 28，则前 n 项和 Sn 的最小值为 _______．
【答案】
-91
【解析】
由给定的通项公式 $a_n = 3n – 28$，我们可以得出数列 $\{ a_n \}$ 是一个等差数列，其中首项 $a_1 = -25$，公差 $d = 3$。
由于 $a_n = 3n – 28$，我们可以解出 $n$，得到 $n = \frac{a_n + 28}{3}$。由于 $n$ 必须是正整数，因此 $a_n$ 必须大于或等于 $-28$。解这个不等式，我们得到 $n \geq 10$。
数列 $\{ a_n \}$ 的前 $9$ 项都是负的，从第 $10$ 项开始才是正的。前 $9$ 项的和是最小的，即 $S_9$ 是最小的。
$S_9 = \frac{9 \times (-25) + \frac{9 \times 8}{2} \times 3}{2} = -91$
2. 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，a1 = 1，an + an+1 = 3Sn，则 S5 = _______．
【答案】
31
【解析】
由给定的条件 $a_{n} + a_{n + 1} = 3S_n$，我们可以得到 $a_{n + 1} + a_{n + 2} = 3S_{n + 1}$。两式相减，我们得到 $a_{n + 2} – a_n = 3a_{n + 1}$。
进一步整理，我们得到 $\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}} = 3 + \frac{a_{n + 1}}{a_n}$。
由 $a_1 = 1$ 和 $a_1 + a_2 = 3S_1$，我们可以得到 $a_2 = 2$。
数列 $\{ \frac{a_{n + 1}}{a_n} \}$ 是一个首项为 2，公差为 3 的等差数列。
$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = 2 + 3(n – 1) = 3n – 1$。
进一步得到 $a_n = a_1 \times (\frac{a_2}{a_1})^{n – 1} \times (\frac{a_3}{a_2})^{n – 2} \times \ldots \times (\frac{a_n}{a_{n – 1}})^{1} = 2^{n – 1}$。
$S_5 = \frac{2^5 – 1}{2 – 1} = 31$。
二、填空题
1. 在等差数列 {an} 中，a3 + a7 = 10，a4 + a6 = 7，则 a10 = _______．
【答案】
8
【解析】
由 $a_3 + a_7 = 10$ 和 $a_4 + a_6 = 7$，我们可以得到 $a_3 + a_7 = a_4 + a_6 + (a_7 – a_6) = a_4 + a_6 + d$。
进一步整理，我们得到 $d = a_7 – a_6 = 3$。
再由 $a_3 + a_7 = 2a_5 = 10$，我们可以得到 $a_5 = 5$。
$a_{10} = a_5 + 5d = 5 + 5 \times 3 = 8$。
2. 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，点 (n，Sn/n) 在直线 y = 1/2x + 1/2 上，则 a5 = _______．
【答案】
9
【解析】
由给定的条件，我们得到 $\frac{S_n}{n} = \frac{1}{2}n + \frac{1}{2}$。
进一步整理，我们得到 $S_n = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$。
$a_n = S_n – S_{n – 1} = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n – [\frac{1}{2}(n – 1)^2 + \frac{1}{2}(n – 1)] = n$。
$a_5 = 5$。