高一函数定义域练习题及详解
一、直接求定义域
1. 题目：求函数$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 2}}$的定义域。
【答案】
定义域为$\{ x|x > -2\}$。
【详解】
由于函数中有根号，所以需要保证根号内的表达式非负，即$x + 2 > 0$，解得$x > -2$。
二、抽象函数定义域
2. 题目：已知$f(x)$的定义域为$[0,1]$，求$f(x^2)$的定义域。
【答案】
定义域为$\{ x|0 \leq x \leq 1 \text{ 或 } -1 \leq x \leq -1\}$，即$x \in [-1,1]$且$x eq 0$。
【详解】
由于$f(x)$的定义域为$[0,1]$，所以$0 \leq x^2 \leq 1$，解得$x \in [-1,1]$。又因为$x^2$不能等于0，所以$x eq 0$。
三、不等式与定义域
3. 题目：求函数$f(x) = \sqrt{4 – x} + \log(x – 1)$的定义域。
【答案】
定义域为$(1,4]$。
【详解】
由于有根号，所以$4 – x \geq 0$，解得$x \leq 4$。由于有对数，所以$x – 1 > 0$，解得$x > 1$。综合两个条件，得到定义域为$(1,4]$。
四、复合函数定义域
4. 题目：已知$f(x)$的定义域为$[0,1]$，求$f(x^2 – 1)$的定义域。
【答案】
定义域为$\{ x| – \sqrt{2} \leq x \leq -1 \text{ 或 } 1 \leq x \leq \sqrt{2} \}$。
【详解】
由于$f(x)$的定义域为$[0,1]$，所以$0 \leq x^2 – 1 \leq 1$，解得$1 \leq x^2 \leq 2$，进一步解得$x$的取值范围。
五、分段函数定义域
5. 题目：求函数$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x – 2}, x \geq 3 \\ x^2 – 2x, x < 3 \end{cases}$的定义域。
【答案】
定义域为$(-\infty, 2) \cup [3, +\infty)$。
【详解】
对于$x \geq 3$，有$\frac{1}{x – 2}$，需要保证分母不为0，即$x eq 2$。对于$x < 3$，有$x^2 – 2x$，需要保证所有实数都适用。综合两个条件，得到定义域。
在求函数定义域时，要特别注意函数的性质，如根号、对数、指数等，确保函数内部表达式的合法性。对于分段函数，要分别考虑每一段的定义域，并综合得到整个函数的定义域。在解题过程中，要细心、耐心，确保不遗漏任何条件。