初三二次函数练习题二：二次函数图像与性质深化训练
题目一：
已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像经过点 $(1, 2)$ 和 $(-1, 4)$，且开口向下，对称轴为直线 $x = 2$。
1. 求该二次函数的解析式。
2. 若该二次函数与 $x$ 轴交于点 $A$ 和 $B$，求 $AB$ 的长度。
3. 当 $x$ 取何值时，$y$ 的值小于 $0$？
答案及解析：
1. 求二次函数解析式：
根据题意，代入点 $(1, 2)$ 到 $y = ax^2 + bx + c$，得到 $2 = a(1)^2 + b(1) + c$，即 $a + b + c = 2$。
再代入点 $(-1, 4)$，得到 $4 = a(-1)^2 + b(-1) + c$，即 $a – b + c = 4$。
已知对称轴为 $x = 2$，则 $-\frac{b}{2a} = 2$，即 $b = -4a$。
解以上三个方程，得到 $a = -1, b = 4, c = -3$。
二次函数的解析式为 $y = -x^2 + 4x – 3$。
2. 求 $AB$ 的长度：
令 $y = 0$，即 $-x^2 + 4x – 3 = 0$。
解此方程，得到 $x_1 = 1$ 和 $x_2 = 3$。
$AB = x_2 – x_1 = 3 – 1 = 2$。
3. 求 $y$ 值小于 $0$ 的 $x$ 值：
令 $-x^2 + 4x – 3 < 0$。
解此不等式，得到 $1 < x < 3$。
当 $1 < x < 3$ 时，$y$ 的值小于 $0$。
题目二：
已知二次函数 $y = x^2 – 2x – 3$。
1. 求该二次函数的顶点坐标。
2. 若该函数图像与 $x$ 轴交于点 $A$ 和 $B$，求 $AB$ 的长度。
3. 当 $x$ 取何值时，$y$ 的值大于 $0$？
答案及解析：
1. 求顶点坐标：
已知二次函数为 $y = x^2 – 2x – 3$。
转化为顶点式，得 $y = (x – 1)^2 – 4$。
顶点坐标为 $(1, -4)$。
2. 求 $AB$ 的长度：
令 $y = 0$，即 $x^2 – 2x – 3 = 0$。
解此方程，得到 $x_1 = -1$ 和 $x_2 = 3$。
$AB = x_2 – x_1 = 3 – (-1) = 4$。
3. 求 $y$ 值大于 $0$ 的 $x$ 值：
令 $x^2 – 2x – 3 > 0$。
解此不等式，得到 $x 3$。
当 $x 3$ 时，$y$ 的值大于 $0$。