整式的乘除练习题提高篇，挑战复杂化简与求值

整式的乘除练习题提高篇，挑战复杂化简与求值

一、题目

1. 已知$2x^{2} – 3x – 1 = 0$，求$4x^{3} – 6x^{2} – 2x + 7$的值。

2. 已知$a + b = 5$，$ab = -6$，求$(a – 2b + b) + (2a + b – ab) – (3a – ab + b)$的值。

3. 已知$x^{2} – 2x – 1 = 0$，求$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$的值。

4. 已知$a + b = 7$，$ab = 12$，求$(a – b)^{2}$的值。

二、解答

1. 已知$2x^{2} – 3x – 1 = 0$，

$\therefore 2x^{2} – 3x = 1$，

将$4x^{3} – 6x^{2} – 2x + 7$进行变形，得：

$4x^{3} – 6x^{2} – 2x + 7 = 2x(2x^{2} – 3x) – 2x + 7$，

将$2x^{2} – 3x = 1$代入上式，得：

$2x(2x^{2} – 3x) – 2x + 7 = 2x \times 1 – 2x + 7 = 2x – 2x + 7 = 7$。

2. 已知$a + b = 5$，$ab = -6$，

将$(a – 2b + b) + (2a + b – ab) – (3a – ab + b)$进行合并，得：

$(a – 2b + b) + (2a + b – ab) – (3a – ab + b) = a – b – ab$，

将$a + b = 5$，$ab = -6$代入上式，得：

$a – b – ab = 5 – (-6) = 5 + 6 = 11$。

3. 已知$x^{2} – 2x – 1 = 0$，

$\therefore x^{2} – 2x = 1$，

对$x^{2} – 2x$两边同时除以$x$，得：

$x – 2 = \frac{1}{x}$，

$\therefore x + \frac{1}{x} = 3$，

对$x + \frac{1}{x}$两边同时平方，得：

$(x + \frac{1}{x})^{2} = 3^{2}$，

$\therefore x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 7$。

4. 已知$a + b = 7$，$ab = 12$，

对$(a – b)^{2}$进行变形，得：

$(a – b)^{2} = (a + b)^{2} – 4ab$，

将$a + b = 7$，$ab = 12$代入上式，得：

$(a – b)^{2} = 7^{2} – 4 \times 12 = 49 – 48 = 1$。