题目：
在一个矩形ABCD中，E和F分别是边AB和CD的中点，M是EF的中点，N是BC边上的一点，使得BN:NC = 1:2。连接DM并延长交BC的延长线于点G，连接EN并延长交AG于点H。求图中阴影部分的面积。
解法一：直接计算法
1. 我们可以计算矩形ABCD的面积，这可以通过长乘以宽来得到。
2. 然后，我们可以计算三角形DEN和三角形DMG的面积，这可以通过底乘以高再除以2来得到。
3. 接着，我们可以计算三角形BGH和三角形BEM的面积，这同样可以通过底乘以高再除以2来得到。
4. 阴影部分的面积就是矩形ABCD的面积减去三角形DEN、DMG、BGH和BEM的面积。
解法二：割补法
1. 我们可以将三角形DEN和三角形DMG进行割补，使得它们形成一个新的矩形。
2. 接着，我们可以将三角形BGH和三角形BEM进行割补，使得它们也形成一个新的矩形。
3. 这样，我们就可以得到两个新的矩形的面积，这两个矩形的面积之和就是阴影部分的面积。
解法三：利用相似三角形
1. 我们可以证明三角形DEN和三角形DMG是相似的，这可以通过它们的对应边和对应角来证明。
2. 同样，我们可以证明三角形BGH和三角形BEM是相似的。
3. 然后，我们可以利用相似三角形的性质，通过已知的一个三角形的面积和相似比来求出另一个三角形的面积。
4. 阴影部分的面积就是两个相似三角形的面积之和。
解法四：利用面积比例
1. 我们可以将矩形ABCD分成几个部分，使得每部分的面积可以通过已知的面积和比例来求得。
2. 然后，我们可以计算每个部分的面积，并找出阴影部分的面积占整个矩形面积的比例。
3. 我们可以将这个比例乘以矩形ABCD的面积来得到阴影部分的面积。
解法五：利用对称性
1. 我们可以注意到，如果我们将矩形ABCD沿着EF对折，那么点G和点H会重合，这说明了矩形EFGH是一个对称的图形。
2. 由于EN是EF的中垂线，所以EN垂直平分EF，这意味着三角形DEN和三角形DMG的面积相等，同样，三角形BGH和三角形BEM的面积也相等。
3. 我们可以将阴影部分的面积看作是矩形ABCD面积的一半减去一个三角形的面积。
以上五种方法都可以用来求解这个题目，每种方法都有其独特的思路和优点。