一元二次方程根与系数关系及其应用题的练习
一、填空题
1. 若一元二次方程 x^2 – 4x + m = 0 的两个根互为相反数，则 m 的值为 _______．
2. 已知关于 x 的一元二次方程 x^2 – 2x – m = 0 的一个根为 x = 3，则它的另一个根为 _______，m 的值为 _______．
3. 已知关于 x 的一元二次方程 x^2 + 2x – k = 0 的两个根互为倒数，则 k = _______．
4. 已知关于 x 的一元二次方程 x^2 – 2x – m = 0 的两个根 x₁，x₂ 满足 1/x₁ + 1/x₂ = -1，则 m = _______．
5. 已知关于 x 的一元二次方程 x^2 – 2x – k = 0 的两个根 x₁，x₂ 满足 x₁^2 + x₂^2 = 10，则 k = _______．
二、解答题
1. 已知关于 x 的一元二次方程 x^2 – 2x – m = 0 的两个根为 x₁，x₂，且 x₁ + 2x₂ = 3，求 m 的值．
2. 已知关于 x 的一元二次方程 x^2 – 2x – m = 0 的两个根 x₁，x₂ 满足 x₁x₂ = -4，x₁ – x₂ = 2，求 m 的值．
3. 已知关于 x 的一元二次方程 x^2 – 2x – m = 0 的两个根 x₁，x₂ 满足 x₁^2 + x₂^2 – x₁x₂ = 13，求 m 的值．
4. 已知关于 x 的一元二次方程 x^2 + 2x – m = 0 的两个根 x₁，x₂ 满足 (x₁ – 2)(x₂ – 2) = 4，求 m 的值．
5. 已知关于 x 的一元二次方程 x^2 – 2x – m = 0 的两个根 x₁，x₂ 满足 (x₁ – 1)^2 + (x₂ – 1)^2 = 5，求 m 的值．
【答案】
一、填空题
1. ∵一元二次方程 x^2 – 4x + m = 0 的两个根互为相反数，∴根据根与系数的关系，得 4/1 = -m，解得 m = -4.
2. ∵关于 x 的一元二次方程 x^2 – 2x – m = 0 的一个根为 x = 3，∴根据根与系数的关系，得另一根为 x = -1，即 3 + x = 2，解得 x = -1，又∵根据根与系数的关系，得 -m/1 = -3，∴解得 m = 3.
3. ∵关于 x 的一元二次方程 x^2 + 2x – k = 0 的两个根互为倒数，∴根据根与系数的关系，得 2/1 = -k，解得 k = -2.
4. ∵关于 x 的一元二次方程 x^2 – 2x – m = 0 的两个根 x₁，x₂ 满足 1/x₁ + 1/x₂ = -1，∴根据根与系数的关系，得 (-2/1) + m/(-1) = -1，解得 m = 1.
5. ∵关于 x 的一元二次方程 x^2 – 2x – k = 0 的两个根 x₁，x₂ 满足 x₁^2 + x₂^2 = 10，∴根据根与系数的关系，得 (x₁ + x₂)^2 – 2x₁x₂ = 10，即 4 + 2k = 10，解得 k = 3.
二、解答题
1. ∵关于 x 的一元二次方程 x^2 – 2x – m = 0 的两个根为 x₁，x₂，且 x₁ + 2x₂ = 3，∴根据根与系数的关系，得 x₁ + x₂ = 2，2x₂ = 3 – x₁，x₁^2 + 2x₁x₂ + x₂^2 = 4，即 (x₁ + x₂)^2 = 4，解得 x₁ = 0，x₂ = 2，∴m = x₁x₂ = 0.
2. ∵关于 x 的一元二次方程 x^2 – 2x – m = 0 的两个根 x₁，x₂ 满足 x₁x₂ = -4，x₁ – x₂ = 2，∴根据根与系数的关系，得 x₁x₂ = -m = -4，解得 m = 4.
3. ∵关于 x 的一元二次方程 x^2 – 2x – m = 0 的两个根 x₁，x₂ 满足 x₁^2 + x₂^2 – x₁x₂ = 13，∴根据根与系数的关系，得 (x₁ + x₂)^2 – 3x₁x₂ = 13，即 4 + 3m = 13，解得 m = 3.
4. ∵关于 x 的一元二次方程 x^2 + 2x – m = 0 的两个根 x₁，x₂ 满足 (x₁ – 2)(x₂ – 2) = 4，∴根据根与系数的关系，得 x₁x₂ – 2(x₁ + x₂) + 4 = 4，即 x₁x₂ – 22 + 4 = 4，解得 m = 4.
5. ∵关于 x 的一元二次方程 x^2 – 2x – m = 0 的两个根 x₁，x₂ 满足 (x₁ – 1)^2 + (x₂ – 1)^2 = 5，∴根据根与系数的关系，得 (x₁ + x₂)^2 – 2x₁x₂ – 2(x₁ + x₂) + 2 = 5，即 4 – 2m – 4 + 2 = 5，解得 m = -2.