完全平方公式同步练习题
一、基础题
1. 填空：$(a + b)^2 =$ _______。
2. 计算：$(3x – 2y)^2 =$ _______。
3. 分解因式：$9x^2 – 6x + 1 =$ _______。
4. 已知$a^2 + 2ab + b^2 = 25$，$a – b = 3$，求$ab$的值。
二、拔高题
1. 已知$x^2 + 2x – 5 = 0$，求$x^2 + 4x + 1$的值。
2. 分解因式：$x^2 – 2x – 3$。
3. 已知$a^2 + b^2 – 6a – 4b + 13 = 0$，求$a^2 + b^2$的值。
4. 已知$x^2 + 4x – p$与$x^2 – 2x + q$的乘积中不含$x$的一次项和常数项，求$p$、$q$的值。
三、提高题
1. 已知$x^2 + 2x – 15 = 0$，求代数式$x^2 + 4x^2 + 6x + 17$的值。
2. 分解因式：$x^2 – 4x – 5$。
3. 已知$a^2 + b^2 – 2a – 4b + 5 = 0$，求$(a – b)^2$的值。
4. 已知多项式$2x^2 + 1$与多项式$ax^2 – 2bx + 3$的乘积中不含$x$的一次项和常数项，求$a$、$b$的值。
答案及解析
基础题
1.【答案】$a^2 + 2ab + b^2$
【解析】根据完全平方公式，$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
2.【答案】$9x^2 – 12xy + 4y^2$
【解析】根据完全平方公式，$(3x – 2y)^2 = 9x^2 – 12xy + 4y^2$。
3.【答案】$(3x – 1)^2$
【解析】观察式子$9x^2 – 6x + 1$，可以看作是完全平方公式，即$(3x – 1)^2$。
4.【答案】$ab = 4$
【解析】由$a^2 + 2ab + b^2 = 25$得$(a + b)^2 = 25$，又$a – b = 3$，联立解得$a + b = 5$，$ab = 4$。
拔高题
1.【答案】$x^2 + 4x + 1 = 13$
【解析】由$x^2 + 2x – 5 = 0$得$x^2 + 2x = 5$，则$x^2 + 4x + 1 = (x^2 + 2x) + 2x + 1 = 5 + 2x + 1 = 13$。
2.【答案】$(x – 3)(x + 1)$
【解析】$x^2 – 2x – 3 = (x – 3)(x + 1)$。
3.【答案】$a^2 + b^2 = 5$
【解析】由$a^2 + b^2 – 6a – 4b + 13 = 0$得$(a^2 – 6a + 9) + (b^2 – 4b + 4) = 0$，即$(a – 3)^2 + (b – 2)^2 = 0$，解得$a = 3$，$b = 2$，所以$a^2 + b^2 = 5$。
4.【答案】$p = 2$，$q = -1$
【解析】由题意得$(2x^2 + 1)(ax^2 – 2bx + 3) = 2ax^4 + (2 – 4b)x^3 + (3a – 2b)x^2 + 3x + 1$，由于不含$x$的一次项和常数项，所以$2 – 4b = 0$，$3a – 2b = 0$，解得$p = 2$，$q = -1$。
提高题
1.【答案】$x^2 + 4x^2 + 6x + 17 = 16$
【解析】由$x^2 + 2x – 15 = 0$得$x^2 + 2x = 15$，则$x^2 + 4x^2 + 6x + 17 = 5x^2 + 6x + 17 = 5(x^2 + 2x) + 17 = 5 \times 15 + 17 = 16$。
2.【答案】$(x – 5)(x + 1)$
【解析】$x^2 – 4x – 5 = (x – 5)(x + 1)$。
3.【答案】$(a – b)^2 = 1$
【解析】由$a^2 + b^2 – 2a – 4b + 5 = 0$得$(a^2 – 2a + 1) + (b^2 – 4b + 4) = 0$，即$(a – 1)^2 + (b – 2)^2 = 0$，解得$a = 1$，$b = 2$，所以$(a – b)^2 = 1$。
4.【答案】$a = 2$，$b = \frac{1}{2}$
【解析】由题意得$2x^2 \times ax^2 + 2x^2 \times (-2bx) + 2x^2 \times 3 + 1 = 2ax^4 – 4bx^3 + 6x^2 + 1$，由于不含$x$的一次项和常数项，所以$-4b = 0$，$6 – 2b = 0$，解得$a = 2$，$b = \frac{1}{2}$。