初三数学一元二次方程练习题：解法大全及判别式应用

一、选择题

1. 一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的解的情况是（）

A. 当Δ = b^2 – 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数根

B. 当Δ = b^2 – 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根

C. 当Δ = b^2 – 4ac < 0时，方程有两个实数根

D. 以上说法均不对

答案：A,B

解析：根据一元二次方程的判别式Δ = b^2 – 4ac，当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程无实数根。选项A和B是正确的。

2. 已知一元二次方程x^2 – 2x – 3 = 0的解为α和β，则α + β = _______

A. 2 B. -2 C. 3 D. -3

答案：A

解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，若α和β是一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根，则α + β = -b/a。对于方程x^2 – 2x – 3 = 0，a = 1, b = -2，所以α + β = -(-2)/1 = 2。

二、填空题

1. 若一元二次方程3x^2 – 5x + c = 0的解为x₁ = 2，x₂ = 3，则c的值为____。

答案：6

解析：将x₁ = 2和x₂ = 3代入方程3x^2 – 5x + c = 0，得到两个方程：12 – 10 + c = 0和27 – 15 + c = 0。解这两个方程，得到c = 2和c = 12，但由于x₁和x₂是方程的解，所以c的值应该相同，因此c = 6。

2. 若关于x的一元二次方程x^2 – 2x – m = 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____。

答案：m < 1

解析：根据一元二次方程的判别式Δ = b^2 – 4ac，对于方程x^2 – 2x – m = 0，a = 1, b = -2, c = -m。所以Δ = (-2)^2 – 4(1)(-m) = 4 + 4m。由于方程有两个不相等的实数根，所以Δ > 0，即4 + 4m > 0，解得m > -1。但由于方程中x^2的系数为1，所以m不能等于1，因此m < 1。

三、解答题

1. 解一元二次方程5x^2 – 7x – 6 = 0，并求出它的解。

答案：解：5x^2 – 7x – 6 = 0

(5x + 2)(x – 3) = 0

x₁ = -2/5, x₂ = 3

解析：对于一元二次方程5x^2 – 7x – 6 = 0，使用因式分解法，得到(5x + 2)(x – 3) = 0，解得x₁ = -2/5, x₂ = 3。

2. 若关于x的一元二次方程x^2 – 2x – m = 0有两个实数根，求m的取值范围。

答案：m ≤ 1

解析：对于一元二次方程x^2 – 2x – m = 0，a = 1, b = -2, c = -m。根据判别式Δ = b^2 – 4ac，得到Δ = (-2)^2 – 4(1)(-m) = 4 + 4m。由于方程有两个实数根，所以Δ ≥ 0，即4 + 4m ≥ 0，解得m ≥ -1。但由于方程中x^2的系数为1，所以m不能等于-1，因此m ≤ 1。