椭圆的几何性质练习题详解
一、选择题
1. 已知椭圆C：x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) 的焦距为2c，且a，b，c成等比数列，则此椭圆的离心率为？
A. √2/2 B. √3/3 C. √2/3 D. √3/2
【答案】A
【解析】由题意，椭圆的焦距为2c，所以c = 1。又因为a，b，c成等比数列，所以b² = ac = c，进而得到a² = b² + c² = 2c²。椭圆的离心率e = c/a = 1/√2 = √2/2。
2. 若椭圆C：x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/2，则此椭圆的焦点到其长轴端点的距离为？
A. √2 B. √3 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】由题意，椭圆的离心率为√3/2，所以e = c/a = √3/2。又因为e² = 1 – b²/a²，所以3/4 = 1 – b²/a²，解得b² = 1/3a²。进而得到c² = a² – b² = 2/3a²，所以c = √2/3a。焦点到长轴端点的距离为a，即a = √3c = √3×(√2/3a) = √2，所以答案为B。
二、填空题
1. 已知椭圆C：x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) 的离心率为√5/3，且焦点到椭圆中心的距离为1，则此椭圆的方程为？
【答案】x²/9 + y²/4 = 1
【解析】由题意，椭圆的离心率为√5/3，所以e = c/a = √5/3。又因为焦点到椭圆中心的距离为c = 1，所以a = 3/√5 × c = 3/√5。又因为e² = 1 – b²/a²，所以5/9 = 1 – b²/(3/√5)²，解得b² = 4/9 × (3/√5)² = 4/3。椭圆的方程为x²/9 + y²/4 = 1。
2. 已知椭圆C：x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) 的焦距为2c，且a² = 3c²，则此椭圆的离心率为？
【答案】√2/3
【解析】由题意，椭圆的焦距为2c，所以c = 1。又因为a² = 3c² = 3，所以a = √3。椭圆的离心率e = c/a = 1/√3 = √3/3。
三、解答题
1. 已知椭圆C：x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) 的离心率为√2/2，且长轴长为6，求此椭圆的方程。
【答案】x²/9 + y²/5 = 1
【解析】由题意，椭圆的离心率为√2/2，所以e = c/a = √2/2。又因为长轴长为2a = 6，所以a = 3。c = a × e = 3 × √2/2 = 3√2/2。又因为e² = 1 – b²/a²，所以(√2/2)² = 1 – b²/9，解得b² = 5。椭圆的方程为x²/9 + y²/5 = 1。
2. 已知椭圆C：x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) 的焦距为2c，且a² = 3c²，点P(1, 3/2) 在椭圆内，求此椭圆的离心率。
【答案】√2/3
【解析】由题意，椭圆的焦距为2c，所以c = 1。又因为a² = 3c² = 3，所以a = √3。椭圆的离心率e = c/a = 1/√3 = √3/3。