1. 已知两个向量A = (3, 2) 和 B = (-2, 4)，求向量A与B的数量积。
解：根据数量积的定义，A·B = A的x分量 × B的x分量 + A的y分量 × B的y分量。
A·B = 3 (-2) + 2 4 = -6 + 8 = 2
2. 已知单位向量a = (1/3, √2/3) 和 b = (√3/3, 1/3)，求a与b的数量积。
解：计算两个向量的模。
|a| = √(1/9 + 2/9) = √(3/9) = 1/3 √3
|b| = √(3/9 + 1/9) = √(4/9) = 2/3 √2
然后，计算a与b的数量积。
a·b = 1/3 √3 √3/3 + √2/3 1/3 = 1/3 + √2/9
3. 已知向量c = (1, 2) 和 d = (4, 3)，若c与d的数量积为5，求向量c的模。
解：根据数量积的定义，c·d = |c| |d| cosθ。
因为c·d = 5，所以 |c| |d| cosθ = 5。
又因为c·d = c的x分量 d的x分量 + c的y分量 d的y分量，所以 14 + 23 = 10。
|c| |d| = 5/cosθ = 10，|c| = √10/√(cosθ)。
又因为c的模的平方为 c·c = 1^2 + 2^2 = 5，所以 |c| = √5。
4. 已知向量e = (1, -1) 和 f = (2, 3)，求使e·(mf)取得最大值的实数m的值。
解：e·(mf) = e的x分量 (mf)的x分量 + e的y分量 (mf)的y分量。
e·(mf) = m(12 + (-1)3) = m(-1) = -m。
当m = 0时，e·(mf)取得最大值0。
5. 已知向量g = (1, 2) 和 h = (3, 4)，若g与h的数量积为15，求g的模。
解：根据数量积的定义，g·h = |g| |h| cosθ = 15。
因为g·h = 13 + 24 = 15，所以 |g| |h| cosθ = 15。
又因为h的模为 |h| = √(3^2 + 4^2) = 5，所以 |g| = 15/(5cosθ) = 3/cosθ。
又因为g的模的平方为 g·g = 1^2 + 2^2 = 5，所以 |g| = √5。